KPSS Matematik Konu Özeti

[Medineweb]

İkinci Dereceden Denklemler

İKİNCİ DERECE DENKLEMİ Babilliler, Mısırlılar ve Çinlilerde x + y = a ve x - y = b denklem çiftinde, yanlışı ılı memeyle x = (a + b)/2 ve y = (a-b)/2 olduğunu biliyorlardı.
Çinliler ayrıca matris bloklarını ve bambu çubukları kullanarak bu denklem sistemini çözebiliyorlardı. Daha sonraki gelen halklarda bu geometrik şekilleri kullanarak bu denklem sistemine sayısal çözümler bulmuşlardır. Eski halklarda sistemli bir ispat yöntemi bulunmadığından hu tür işlemler daha çok deneme biçiminde yürütülüyordu.
Çinlilerde de sistemli bir ispat yöntemi yoktu. Bunları söylerken, eski Babil, Mısır ve Çin anlatılıyor. Çinlilerin ikinci derece denklemine dönüşen problemleri Dokuz Bölüm isimli kitapta iki tane denklemle verilir. Bu denklemler arasında bilinmeyenin birisi yok edilerek sonuçta ikinci derece denklemi bulunur. Sonra denklem kendi yöntemleriyle çözülür.
Çinlilerin Dokuz Bölüm isimli kitabındaki 11. problem şöyledir. Bir kapının boyu eninden 6.8 birim daha fazladır. Kapının köşegeninin uzunluğu da 10 birimdir. Kapının enini ve boyunu hesaplayınız. Problemin ifadesine göre boyutlar x ve y ise x-y = 6.8 ve x2 + y2=100 denklem çifti yazılır. Çinliler bu problemi daha çok Pisagor yöntemiyle çözerler.
Eğer bu problemi biz x - y = d ve x2 + y2 = c2 biçiminde yazarsak, (x + y)2 = 4xy + (x - y)2 ve c2 = 2xy+(x - y)2 yada 4xy = 2c2 - 2(x - y)2 yazılır. Buradan (x + y)2 = 2c2-(x - y)2 ya da x+y= yazılır.
Eşitliğin her iki yanı 2 sayısıyla bölünürse, olur.
Buradan x +y = 12.4 gelir. x-y = 6.8 olarak verilmişti.
Buradan x = 9.6 ve y = 2.8 olarak bulunur. Çinlilerin Dokuz Bölüm isimli kitaplardaki problemler daha çok doğrusal ve ikinci derece olan denklem sistemleri biçimlerine dönüşür. Bu tür örnekler Çinlilerde fazladır. Oysa Eski Babillilerdeki tabletler x + y = b ve xy = c biçimlere dönüşen problemlerle doludur. Babillilerin problemleri daha çok alan ve çevre türünde düzenlenmiştir.
Alanı c ve çevresi 2b olan çok sayıda Babil tableti bulunmuştur. Bu tabletler x = b/2 + z ve y = b/2 - z boyutlu dikdörtgen ve c alanı t. . (b/2 + z) (b/2 - z) = (b/2)2 - z2 biçiminde alınarak hesaplar yapılmıştır.
Bu hesaplamalara göre olur. Buradan ve y = değerleri istenilen denklem sisteminin çözümüdür. Burada yazdığımız modern gösterimler, Babillilerin tabletlerinde yapılan çözümlerin yorumlanması ve açıklanması türendedir. Babilliler aslında formül vermemişlerdir. Her problemi çözerken çözümde kullandıkları yöntemler bunlardır. Babilli yazıcılar bu işlemi geometrik olarak nasıl yapmışlar ve nasıl tabletlere geçirmişlerdir? Şimdi onu gösterelim.
Yine x + y = b ve xy = c olarak verilsin. Burada x değerine uzun kenar ve y değerine de kısa kenar diyorlar. Daha kısa deyimle x uzunluk ve y de genişlik olarak alınıyor. Buna göre problemin ifadesinden genel olarak x + y = b ve xy = c gösterimleri geliyor. Modern dille bu iki denklem sisteminden uzunluk denen x ve genişlik denen y değeri hesaplanacak.
Bu hesaplamaları geometrik olarak şu şekle dayandırıyorlar. Yani komutlarından böyle yaptıkları anlaşılıyor. Önce b sayısını ikiye bölüyor ve b/2 kenarlı kareyi çiziyor. Burada b/2 = x - (x - y)/2 = y + (x - y)/2 biçiminde ve b/2 = (x + y)/2 olduğundan, b/2 kenarlı karenin üa-nı xy = c alanından (x - y)/2 kenarlı karenin alanı kadar daha fazladır. Yani, x+y=b ve xy=c olan denklem sisteminin çözümünün geometrik yorumu olur. Yukarıdaki şekle göre b/2 sayısına sayısını bir kez ekler ve bir kez de çıkarırsak sırasıyla

SORU-1 :
SORULAR
1)2x 2 - 8x + 6 = 0 denklemini çözünüz.


CEVAP-1 :
∆ = 8 2 - 4 . 2 . 6 = 16 ve 16 >0 olup farklı iki çözüm vardır. x 1 = ( - (-8) + √ 16 ) / 2 . 2 = ( 8 + 4 ) / 4 = 3 ve x 2 = ( - (-8) - √ 16 ) / 2 . 2 = ( 8 - 4 ) / 4 = 1 olur. Ç = { 1 , 3 }


SORU-2 :
2) x 2 + 4x -2 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. Kökleri x 1 + 3 ve x 2 + 3 olan denklemi bulunuz.

CEVAP-2 :
Denklemin kökler toplamı -4 / 1 = -4 ve kökler çarpımı (-2) / 1 = -2 dir. Kurmak istediğimiz denklemin kökler toplamı T = x 1 + 3 + x 2 + 3 = -4 + 6 = 2 dir. Kökler çarpımı ise Ç = ( x 1 + 3 ) . ( x 2 + 3 ) = x 1 . x 2 + 3 . ( x 1 + x 2 ) + 9 = -2 + 3 . (-4) + 9 = -5 olur. Denklem x 2 - Tx + Ç = 0 şeklindedir. x 2 - 2x - 5 = 0 aradığımız denklemdir.


SORU-3 :
3) x 2 + xy =12 denklem sistemini çözünüz.
xy + y 2 = 4


CEVAP-3 :
Birinci ve ikinci denklem taraf tarafa toplanırsa x 2 + 2xy + y 2 = 16 ve taraf tarafa çıkarılırsa x 2 - y 2 = 8 denklemleri elde edilir. ( x + y ) 2 = 16 ise x + y = 4 veya x + y = - 4 olacaktır.
x 2 - y 2 = 8 ifadesi x + y = 4 ve x + y = - 4 ifadeleriyle taraf tarafa ayrı ayrı bölünürse x - y = 2 ve x - y = -2 elde edilir.
x + y = 4 ve x + y = - 4 denklem sistemleri ayrı ayrı çözülürse x = 3 , y = 1 ve
x - y = 2 x - y = -2 x = -3 , y = -1 olur.
Ç = { (3 , 1) , (-3 , -1) }


alıntıdır

[Medineweb]

YAŞ PROBLEMLERİ
i) Bugünkü yaş x ise;
m yıl sonra : x + m
n yıl önce : x - n olur.

ii) m yıl önceki yaş x ise,
bugün : x + m
n yıl sonra : x + m + n olur.

Örnek: Bir annenin yaşı 56, üç çocuğunun yaşları toplamı 8'dir. Kaç yıl sonra, annenin yaşı üç çocuğunun yaşları toplamının 3 katı olur?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

Çözüm:
Bugün Anne 56 x yıl sonra: 56 + x
Uç çocuk 8 8 + 3x

Denklem: 56 + x = 3. (8 + 3x)
56 + x = 24 + 9x 8x = 32 x = 4 bulunur.
Doğru cevap (C) şıkkıdır.


Kar-Zarar Problemleri

Maliyet:100 %20 kar Satış:100+20=120
Maliyet:100 %20 İndirimli Satış: 100-20=80
İndirimli satışın üzerinden %20 karlı satış: 80.%120=(80.120):100=96

alıntıdır.

[Medineweb]

ORAN
a ve b reel sayılarının en az biri sıfırdan farklı olmak üzere, ye a nın b ye oranı denir.

• Kesrin payı sıfır olabilir fakat paydası sıfır olamaz.
  
  Oranın payı ya da paydası sıfır olabilir.
  Oranlanan çoklukların birimleri aynı tür ya da aynı olmalıdır.
• Oranın sonucu birimsizdir.

B. ORANTI

En az iki oranın eşitliğine orantı denir. Yani oranı[ ye orantı denir.
ise, [ a ile d ye dışlar, b ile c ye içler denir.
C. ORANTININ ÖZELLİKLERİ
1) [ ise a.d= b.c

2)
[
3) m ile n den en az biri sıfırdan farklı olmak üzere,
[
4) a : b : c = x : y : z ise,

Burada, a = x . k
b = y . k
c = z . k dır.
D. ORANTI ÇEŞİTLERİ
1. Doğru Orantılı Çokluklar
Orantılı iki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa ya da biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu iki çokluk doğru orantılıdır denir.
x ile y doğru orantılı ve k pozitif bir doğru orantı sabiti olmak üzere, y = k . x ifadesine doğru orantının denklemi denir. Bu denklemin grafiği aşağıdaki gibidir.

• İşçi sayısı ile üretilen ürün miktarı doğru orantılıdır.
• Bir aracın hızı ile aldığı yol doğru orantılıdır.

2. Ters Orantılı Çokluklar

Orantılı iki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa ya da biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa bu iki çokluk ters orantılıdır denir.
x ile y ters orantılı ve k pozitif bir ters orantı sabiti olmak üzere, ifadesine ters orantının denklemi denir.
Bu denklemin grafiği aşağıdaki gibidir.

• İşçi sayısı ile işin bitirilme süresi ters orantılıdır.
• Bir aracın belli bir yolu aldığı zaman ile aracın hızı ters orantılıdır.

a, b ile doğru c ile ters orantılı ve k pozitif bir orantı sabiti olmak üzere,


E. ARİTMETİK ORTALAMA
n tane sayının aritmetik ortalaması bu n sayının toplamının n ye bölümüdür.
Buna göre, x1, x2, x3, ... , xn sayılarının aritmetik ortalaması,

• a ile b nin aritmetik ortalaması
  
  a, b, c biçimindeki üç sayının aritmetik ortalaması,[
• n tane sayının aritmetik ortalaması x olsun.

Bu n tane sayının herbiri; A ile çarpılır, B ilave edilirse oluşan yeni sayıların aritmetik ortalaması Ax + B olur.

F. GEOMETRİK ORTALAMA
n tane sayının geometrik ortalaması bu sayıların çarpımının n. dereceden köküdür.
Buna göre,
x1, x2, x3, ... , xn sayılarının geometrik ortalaması

• [CENTER][FONT=Trebuchet MS][SIZE=4]a ile b nin geometrik ortalaması (orta orantılısı)
• a, b, c biçimindeki üç sayının geometrik ortalaması,
  
  

• a ile b nin aritmetik ortalaması geometrik ortalamasına eşit ise a = b dir.

G. HARMONİK (AHENKLİ) ORTA

x1, x2, x3, ... , xn sayılarının harmonik ortalaması

• a ile b nin harmonik ortalaması

• a, b, c gibi üç sayının harmonik ortalaması

• İki pozitif sayının aritmetik ortalaması A, geometrik ortalaması G ve harmonik ortalaması H ise,

i) G2 = A . H dır.

ii) H £ G £ A dır.
H. DÖRDÜNCÜ ORANTILI
[ orantısını sağlayan x sayısına a, b, c sayıları ile dördüncü orantılı olan sayı
denir.


alıntıdır.

[Medineweb]

Konu: Oran ve Orantı – Orantı Çeşitleri

1 kg elma 2 YTL ise 3 kg elma kaç YTL eder ?
Al sana bir Orantı sorusu.
Günlük hayatta bol bol orantı kullanıyoruz fakat haberimiz yok.

Yukarıdaki gibi çokluklar karşılaştırılıyorsa, bazı bilgiler verilip eksik bilgiler isateniyorsa buna Orantı denir.
Bu orantının iki çeşidi vardır.
Bunlar: Doğru Orantı ve Ters Orantı dır.

Bunları inceleyelim.

Doğru Orantı: Çokluklardan ( sayılardan ) biri artarken diğer sayı da artıyorsa veya biri azalırken diğeri de azalıyorsa buna doğru orantı denir.
Peki yukarıdaki tanımda anlatılmak istenen nedir ?

Örnek: 5 litre benzin ile 225 km giden araç 12 litre benzin ile kaç km yol gider ?

Orantının çeşidi: Doğru Orantıdır çünkü; benzinin litresi 5 ten 12 yer çıkmış, artma var. Buna karşılık 225 olarak gidilen yolun da artması gerekir. Yani; benzina rtmış, gidilen yol da artacak.

İşte bu şekilde biri artarken diğeri de artarsa, veya ikisi de azalırsa bunlara doğru orantı diyeceğiz.

Peki sonucu nasıl bulacağız ?


yukarıda olduğu gibi aynı cinsler paya, diğer aynı cinsler de paydaya yazılır.

Litreler paya, alınan yollar da paydaya yazıldı.

Not: Doğru orantı dendiği zaman bölme işlemi aklımıza gelmeli.


Ters Orantı: İsminden de anlaşılacağı üzere ters bir durum söz konusu.
Çokluklardan biri artarken diğeri terslik yapıp azalıyorsa, veya biri azalırken diğeri artıyorsa buna TERS orantı denir.

Bir örnekle inceleyelim

Örnek: Bir tarlayı 3 traktör 15 saatte sürüyorsa 5 traktör kaç saatte sürer ?

Orantının çeşidi: Ters orantıdır, peki neden ?

3 traktör 15 saatte sürüyor, traktör sayısı 5 olduğunda traktör sayısında bir artış var. Bakalım saat de artacak mı ?

Bir düşünelim… Traktör sayısı artınca işimiz daha çabuk bitecektir ve zaman kısalacaktır.

Kısacası: Traktör sayısı arttı fakat zaman azalacak.

Bu tür orantılara TERS orantı diyeceğiz.

Peki ters orantı nasıl çözülür bir bakalım.

3.15=5.x

45=5.x

9=x

x=9 olarak bulundu.

Yani; 5 traktör tarlayı 9 saatte sürer. Mantıklısı da odur zaten.

Eğer doğru orantı gibi çözseydik;

3/15=5/x

içler dışlar yaparsak;

3x=75

x=25 oalrak bulunur.

Yani traktörler artınca tarla daha da geç sürülüyor…

Bu mantıklı mı sizce?

Sizce de mantıksızsa buna dopru orantıdır diyemeyiz.

Not: Ters orantı dendiği zaman çarpma işlemi aklımıza gelmeli.

alıntıdır.

[Medineweb]

Aritmetik ortalama ve açıklık

Aritmetik ortalama ve açıklık hesapları için elimizde birden fazla sayı olmalı.
Aritmetik ortalamayı siz öğrencilerimiz en çok ders notlarınızı hesaplarken kullanıyorsunuz.
Örneğin; Matematik dersinden kaç tane sınav olduysanız hepsini topluyorsunuz ve en son sınav sayısına bölüyorsunuz.
Veri: Elimizde kaç tane sayısal değer varsa bunların her birine veri denir.

Artirmetik ortalama = Tüm verilerin toplamı / veri sayısı

Açıklık ise elimizdeki verilerin ( sayıların ) içindekilerden en büyüğü ile en küçüğünün farkını alarak bulunur.

Açıklık= en büyük sayı - en küçük sayı

Örnek: Bir futbol takımında oynayan 11 oyuncunun yaşları aşağıdaki gibidir.

27,19,23,32,34,27,28,26,25,20,21

Buna göre bu oyuncuların yaşlarının aritmetik ortalamasını ve bu verilerin açıklığını bulunuz.

Toplam:282

Veri sayısı:11

Aritmetik ortalaması= toplam / veri sayısı

Aritmetik Ortalama = 282 / 11

Aritmetik Ortalama=25,6 olarak bulunur.

Açıklık= enbüyük sayı - en küçük sayı

En büyük sayı=34

En küçük sayı=19

Açıklık = 34-19=15

Açıklık= 15 olarak bulunur.
Geometrik Ortalama
Geometrik ortalama, birim değerlerinin (gözlem sonuçlarının) birbirleriyle çarpımlarının, n birim sayısı olmak üzere, n inci dereceden köküne denir.

Birim değerleri x1, x2, ... , xn gibi gösterilirse geometrik ortalama aşağıdaki gibi yazılır:


İstatistiksel araştırmalarda gözlem sonuçları arasındaki oransal (nispî) farkların mutlak farklardan daha önemli olduğu durumlarda geometrik ortalamaya başvurulur. Diğer bir ifade ile gözlem sonuçlarının her biri bir önceki gözlem sonucuna bağlı olarak değişiyorsa ve bu değişmenin hızı saptanmak istenirse geometrik ortalama sağlıklı sonuçlar verir. Geometrik ortalama kısaca G harfi ile gösterilir.

Geometrik ortalama bulmak veri değerlerinin pozitif olmasi gerekir. Eğer tek bir veri değeri sıfır ise geometrik ortalama anlamsız olur.
Harmonik Ortalama Harmonik ortalama, gözlem sonuçlarının (birim değerlerinin) terslerinin aritmetik ortalamasının tersidir.

Birim değerleri x1, x2, ... , xn gibi gösterilirse harmonik ortalama aşağıdaki gibi yazılır:


Harmonik ortalama genellikle, ekonomik olaylarda 1 birim ile alınan ortalama miktara veya bir mamülün bir biriminin üretimi için harcanan ortalamaya gereksinim duyulduğunda kullanılır. Harmonik ortalama kısaca H harfi ile gösterilir.

İki veri için harmonik ortalama [değiştir]Yalnız iki tane veri, (x1 ve x2 elde bulunursa, bunlar için harmonik ortalama H şöyle ifade edilebilir.


Bu halde bulunan harmonik ortalama, bu iki sayının aritmetik ortalamasına şöyle ilişkilidir;


ve bu iki verinin geometrik ortalamasi olan G ise


Bu harmonik ortalamaya şöyle ilişkilidir:
[

Böylece

[
olur. Bu demektir ki geometrik ortalama, aritmetik ortalama ve harmonik ortalama'nın geometrik ortalaması olur.

Ama çok dikkat edilmelidir ki bu sonuç yalnız ve yalnız iki veri için geçerli olur.


alıntıdır.

[Medineweb]

eşitsizlikle ilgili örnek bulabilirsem yayınlarım inş.bunlar bulabildiklerimdi..arkadaşlara burdan yazmış olayım