DGS Matematik Dersi Konu Özetleri-MEDİNEWEB

[Medineweb]

Taban Aritmetiği

Herhangİ bİr sayı sİstemİnden Onluk sayı sİstemİne geçiş:

Herhangi bir sayı sisteminden Onluk sayı sistemine geçebilmek için, basamak (hane) çözümlemesi yapılmalıdır. n, bir sayı sisteminin tabanını göstermek üzere
n >= 2 olacak şekilde bir doğal sayı ise, (abcde)n sayısı onluk sayı sistemine şöyle dönüştürülür.

Örnek: (218)9 = ( ? )10 taban dönüşümünü yapalım.
81 9 1
( 2 1 8 )9 = 92.2 + 91.1 + 90.8
= 81.2 + 9.1 + 1.8
= 162 + 9 + 8
= 179
Örnek: (305)7 = ( ? )10 taban dönüşümünü yapalım.
49 7 1
( 3 0 5)7 = 72.3 + 71.0 + 70.5
= 49.3 + 7.0 + 1.5
= 147 + 0 + 5
= 152

Onluk sayı sİstemİnden Dİğer sayı sİstemlerİne geçİş:
Onluk tabandaki bir sayı diğer tabanlara çevrilirken geçilmesi istenen taban hangi taban ise, onluk tabandaki sayı o sayıya bölünmelidir. Bölme işlemi, bölümdeki sayı taban sayısından küçük olana kadar yapılmalıdır. Yeni tabandaki sayı, en sondan başlanarak önce bölüm sonra da kalanlar sırasıyla yazılarak elde edilir.

Onluk taban dışındakİ bİr tabandan başka bİr tabana geçİş:
Verilen sayı önce Onluk tabana çevrilir. Sonra da Onluk tabandaki sayı, geçilmek istenen tabana dönüştürülür. Yani, n verilen taban ve m istenen taban ise, dönüşümün mantığı şu şekildedir:

Örnek: (1011)2 = ( ? )7 taban dönüşümünü yapalım.

Önce 2 tabanındaki 1011 sayısını Onluk tabana çevirelim.

8 4 2 1

( 1 0 1 1 )2 = 23.1 + 22.0 + 21.1 + 20.1 = 8.1 + 4.0 + 2.1 + 1.1

= 8 + 0 + 2 + 1 = 11

Şimdi de Onluk tabandaki 11 sayısını 7 tabanına çevirelim. 11 sayısını, 7' ye böldüğümüzde, bölüm 1 ve kalan da 4 olacağından,

(11)10 = (14)7

sonucunu elde ederiz. Dolayısıyla, (1011)2 = (14)7 olarak bulunur.

Onluk taban dışındakİ tabanlardakİ sayıların tekliği veya çiftliği:

Sayının tabanı çift ise, sayının son rakamına (birler basamağındaki rakamına) bakılarak karar verilir. Şayet sayının son rakamı çift ise, sayı çifttir. Şayet sayının son rakamı tek ise, sayı tektir. Örneğin, (12345)8 = Tek, (1236)8 = Çift olur.

Sayının tabanı tek ise, sayının rakamları toplamına bakılarak karar verilir. Şayet sayının rakamları toplamı çift ise, sayı çifttir. Şayet sayının rakamları toplamı tek ise, sayı tektir. Örneğin, (234)7 = Tek, (2361)7 = Çift olur.

Onluk taban dışındakİ tabanlarda arİtmetİk İşlemler:

Toplama İşlemİ:

Örnek: (101)2 + (11)2 = ( ? )2

( 1 0 1 )2

+ ( 1 1 )2

__________

( 1 0 0 0 )2

İkilik tabanda 1 ile 1' in toplamı 10' dır. Dolayısıyla, ilgili basamağa 0 yazılır ve 1 sayısı bir önceki basamağa eklenir.

Örnek: (234)5 + (143)5 = ( ? )5

Birler basamağının toplamı, 4 + 3 = 7' dir. 7, 5 tabanında 12' dir. Dolayısıyla, birler basamağına 2 yazıp, beşler basamağına 1 ekleriz.

Beşler basamağının toplamı, 3 + 4 + 1 (birler basamağından eklenen) = 8 olur. 8, 5 tabanında 13' tür. Dolayısıyla, beşler basamağına 3 yazıp, yirmibeşler basamağına 1 ekleriz.

Yirmibeşler basamağının toplamı, 2 + 1 + 1 (beşler basamağından eklenen) = 4 olarak bulunur.

Sonuç olarak, toplam (432)5 olur.

Çıkarma İşlemİ:

Örnek: (132)5 - (23)5 = ( ? )5

Birler basamağının farkı, 2' den 3 çıkartılamayacağı için, beşler basamağından 1 alınmalıdır (yani, 5 alınmalıdır). Bu durumda, 7' den 3 çıkartılarak 4 bulunur.

Beşler basamağından 1 alındığı için, burada 2 kalmıştır. Böylece, 2' den 2 çıkartıldığında 0 kalır.

Yirmibeşler basamağındaki 1 sayısından birşey çıkartılmadığı için aynen alınır.

Sonuç olarak, fark (104)5 bulunur.

Çarpma İşlemİ:

Örnek: (144)5 x (23)5 = ( ? )5

(144)5 x (23)5 = (144)5 x (3)5 + (144)5 x (2)5 = ( 1 0 4 2 )5

+ ( 3 4 3 )5

= ( 1 0 0 2 2 )5

Çarpma işleminin mantığı, onluk tabandaki çarpma işlemine çok benzer. 5 tabanındaki 144 ile 3' ün çarpımı şöyle yapılır:

Birler basamağı: 4 ile 3' ün çarpımı 12' dir. Birler basamağına 2 yazılır ve 10 sayısının içinde 5 sayısı 2 tane olduğu için, beşler basamağına 2 aktarılır.

Beşler basamağı: 4 ile 3' ün çarpımı 12' dir ve buna birler basamağından aktarılan 2 sayısı da ilave edilerek 14 elde edilir. Beşler basamağına 4 yazılır ve 10 sayısının içinde 5 sayısı 2 tane olduğu için, yirmibeşler basamağına 2 aktarılır.

Yirmibeşler basamağı: 1 ile 3' ün çarpımı 3' tür ve beşler basamağından aktarılan 2 sayısı da ilave edilerek 5 elde edilir. 5 tabanında 5, 10 olduğu için yirmibeşler basamağına 0 ve yüzyirmibeşler basamağına da 1 yazılır.

Örnek: ( 25m0 )6 = ( 642 )10 ise, m = ?

216 36 6 1

( 2 5 m 0 )6 = ( 642 )10

216.2 + 36.5 + 6.m + 1.0 = 642

432 + 180 + 6m + 0 = 642

612 + 6m = 642

6m = 642 - 612

6m = 30

m = 5

Örnek: ( 102 )m + ( 145 )m = ( 251 )m ise, m = ?

m2 m 1 m2 m 1 m2 m 1

( 1 0 2 )m + ( 1 4 5 )m = ( 2 5 1 )m

( m2.1 + m.0 + 1.2 ) + ( m2.1 + m.4 + 1.5 ) = m2.2 + m.5 + 1.1

m2 + 2 + m2 + 4m + 5 = 2m2 + 5m +1

2m2 + 4m + 7 = 2m2 + 5m + 1

4m +7 = 5m + 1

7 - 1 = 5m - 4m

6 = m

Örnek: ( 124 )5 + ( 103 )5 = ( m2n )7 ise, m = ?

( 124 )5 + ( 103 )5 = ( 232 )5 bulunur. ( 232 )5 sayısını onluk tabana çevirelim.

25 5 1

( 2 3 2 )5 = 25.2 + 5.3 + 1.2 = 50 + 15 + 2 = 67 olur.

Şimdi de onluk tabandaki 67 sayısını 7' lik tabana çevirelim.

67 : 7 = 7.9 + 4 olur. Bölüm 9 ve kalan 4 dir.

9 : 7 = 7.1 + 2 olur. Kalan 2 ve bölüm 1 olur. En sondaki bölümle kalanlar tersten yazılarak, ( 67 )10 = ( 124 )7 bulunur.

Buradan,

( m2n )7 = ( 124)7
olduğundan, m = 1 bulunur.

[FONT=Tahoma][SIZE=4][CENTER]TABAN ARITMETIGI
Herhangi bir sayi sisteminden Onluk sayi sIstemIne geçiş:
Herhangi bir sayi sisteminden Onluk sayi sistemine geçebilmek için, basamak (hane) çözümlemesi yapilmalidir. n, bir sayi sisteminin tabanini göstermek üzere
n >= 2 olacak sekilde bir dogal sayi ise, (abcde)n sayisi onluk sayi sistemine söyle önüstürülür:
Dogaldir ki, sayi sistemlerinin özelligine göre, sayiyi olusturan rakamlar daima tabandan küçük olmalidir.
Örnek: (1234)5 = ( ? )10 taban dönüsümünü yapalim.


Örnek: (10110)2 = ( ? )10 taban dönüsümünü yapalim.


Örnek: (218)9 = ( ? )10 taban dönüsümünü yapalim.
81 9 1
( 2 1 8 )9 = 92.2 + 91.1 + 90.8
= 81.2 + 9.1 + 1.8
= 162 + 9 + 8
= 179
Örnek: (305)7 = ( ? )10 taban dönüsümünü yapalim.
49 7 1
( 3 0 5)7 = 72.3 + 71.0 + 70.5
= 49.3 + 7.0 + 1.5
= 147 + 0 + 5
= 152
Onluk sayi sIstemInden DIger sayi sIstemlerIne geçIs:
Onluk tabandaki bir sayi diger tabanlara çevrilirken geçilmesi istenen taban hangi taban ise, onluk tabandaki sayi o sayiya bölünmelidir. Bölme islemi, bölümdeki sayi taban sayisindan küçük olana kadar yapilmalidir. Yeni tabandaki sayi, en sondan baslanarak önce bölüm sonra da kalanlar sirasiyla yazilarak elde edilir.
Örnek: (194)10 = ( ? )5 taban dönüsümünü yapalim.


Örnek: (179)10 = ( ? )9 taban dönüsümünü yapalim.


Onluk taban disindakI bIr tabandan baska bIr tabana geçIs:
Verilen sayi önce Onluk tabana çevrilir. Sonra da Onluk tabandaki sayi, geçilmek istenen tabana dönüstürülür. Yani, n verilen taban ve m istenen taban ise, dönüsümün mantigi su sekildedir:


Örnek: (132)5 = ( ? )8 taban dönüsümünü yapalim.
Önce 5 tabanindaki 132 sayisini Onluk tabana çevirelim.
25 5 1
( 1 3 2 )5 = 52.1 + 51.3 + 50.2 = 25.1 + 5.3 + 1.2 =25 + 15 + 2 = 42
Simdi de Onluk tabandaki 42 sayisini 8 tabanina çevirelim.


Böylece, (132)5 = (52)8 olarak bulunur.
Örnek: (1011)2 = ( ? )7 taban dönüsümünü yapalim.
Önce 2 tabanindaki 1011 sayisini Onluk tabana çevirelim.
8 4 2 1
( 1 0 1 1 )2 = 23.1 + 22.0 + 21.1 + 20.1 = 8.1 + 4.0 + 2.1 + 1.1
= 8 + 0 + 2 + 1 = 11
Simdi de Onluk tabandaki 11 sayisini 7 tabanina çevirelim. 11 sayisini, 7 ye böldügümüzde, bölüm 1 ve kalan da 4 olacagindan,
(11)10 = (14)7
sonucunu elde ederiz. Dolayisiyla, (1011)2 = (14)7 olarak bulunur.
Onluk taban disindakI tabanlardakI sayilarin tekligi veya çiftligi:
Sayinin tabani çift ise, sayinin son rakamina (birler basamagindaki rakamina) bakilarak karar verilir. Sayet sayinin son rakami çift ise, sayi çifttir. Sayet sayinin son rakami tek ise, sayi tektir. Örnegin, (12345)8 = Tek, (1236)8 = Çift olur.
Sayinin tabani tek ise, sayinin rakamlari toplamina bakilarak karar verilir. Sayet sayinin rakamlari toplami çift ise, sayi çifttir. Sayet sayinin rakamlari toplami tek ise, sayi tektir. Örnegin, (234)7 = Tek, (2361)7 = Çift olur.
Onluk taban disindakI tabanlarda arItmetIk Islemler:
Toplama IslemI:
Örnek: (101)2 + (11)2 = ( ? )2
( 1 0 1 )2
[SIZE=4][FONT=Tahoma]

[Medineweb]

[CENTER]Kesir Çeşitleri

I. Payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir.

II. Payı paydasından büyük veya eşit olan kesirlere bileşik kesir denir.


III. Bir sayma sayısı ile birlikte gösterilen kesirlere tam sayılı kesir denir.

[Medineweb]

Kesirleri Birbirine Çevirme

Bir bütünün eş parçalarından bir kısmına kesir denir. Bu kesri gösteren sayıya da kesir sayısı denir. Kesir sayısı yerine kesir de kullanılır. Sayı sözcüğü kullanılmadığı zaman da bunun kesir sayısı olduğu anlaşılır.

Kesir, biri üstte, öteki altta, araları bir çizgiyle ayrılan iki doğal sayıyla yazılır. Üstteki sayıya pay, alttakine payda, ve bunları ayıran çizgiye de kesir çizgisi ya da bölü çizgisi denir.

Payda, bütünün ya da çokluğun kaç eş parçaya ayrıldığını, pay ise bu eş parçalardan kaç tanesinin alındığını gösterir.

Bütün ya da çokluk 0′dan (sıfır) çok sayıda parçaya ayrılacağından, kesirlerde paydada 0 (sıfır) bulunmaz.

Kesirler, ya paylardan ya da paydalardan başlayarak okunur.

kesri, “a bölü b” veya “b de a” diye okunur.

Payı bir olan kesre, kesrin birimi denir.

Bir kesrin pay ve paydasındaki sayılar eşit ise, o kesrin değeri 1′dir.

Bir bütünün 2 eş parçasından birine yarım, dört eş parçasından birine çeyrek denir.

5 eş parçaya bölünmüş bir bütünden, 2 parça seçilip alınırsa, bu kesir olarak gösterilir.

Örnek
Çocuk, bir pastanın ’sini yemişse geriye ne kadar pasta kaldı?

Pastanın bütünü 1′dir. Bu yüzden yediği miktar, bütünden çıkartılırsa, geriye kalan pasta miktarı bulunur. Yenilen kısmı gösteren kesrin paydası 7 ve bütün 1 olduğundan, 1 yerine işlemi kolaylaştırmak adına kullanılır. Buna göre;
bulunur. Geriye pastanın ’si kalmıştır.
Kesirler sayı doğrusunda gösterilebilir. Sayı doğrusunda, iki tam sayı arası bir bütün olarak alınır.

Kesirlerin Birbirine Çevrilmesi:
Bileşik kesirle tam sayılı kesirler, birbirine çevrilebilir.

Örnek 1
bileşik kesrini tam sayılı kesre çevirmek için pay, paydaya bölünür. Bölme işleminde bölünen 7, bölen 5, bölüm 1 ve kalan 2 olur. bileşik kesrinin tam sayılı kesir karşılığı,olarak bulunur.

Bir tam sayılı kesri bileşik kesri çevirmek için önce tam kısımla payda çarpılır. Çıkan sonuç pay ile toplanır ve elde edilecek olan bileşik kesrin payına yazılır. Bileşik kesrin paydası, tam sayılı kesrin paydasıyla aynıdır.

Örnek 2
tam sayılı kesri bileşik kesre çevirirken yukarıda anlatılan yöntem uygulanır.

1 x 5 + 2 = 7

bulunur. Bu sayı bileşik kesrin payı olur. Payda değişmez.
= olur.

Kesirlerde Bölme İşlemi:
Birinci kesir olduğu gibi kalır. İkinci kesir ters çevrilip payı paydaya, paydası paya yazılır ve çarpılır.

Kesirlerde Çarpma İşlemi:
Kesirlerin payları çarpılıp çarpımın payına, paydaları çarpılıp çarpımın paydasına yazılır.

Örnek 1
Bir kesrin 0 ile çarpımı sıfırdır.

Örnek 2

Bir kesrin pay ve paydası aynı sayma sayısıyla çarpılırsa, kesrin değeri değişmez. Kesir bu sayıyla genişletilmiş olur. Bir kesirle, genişletilmiş kesir birbirine denktir.

Kesirlerde Çıkarma İşlemi:
İşlem yapılacak kesirlerde bütünler aynı sayıda eş parçalara bölünmüş olmalıdır. Yani paydaları eşit olmalıdır. Farklı sayılarda bölünmüşseler, paydalar eşitlenir. Paydalar, en küçük ortak kata eşitlenir.

Çıkarma işleminde paylar çıkarılır ve sonuç pay kısmına yazılır. Eşit payda işlem sonucunun paydasına yazılır.

Kesirlerde Toplama İşlemi:
İşlem yapılacak kesirlerde bütünler aynı sayıda eş parçalara bölünmüş olmalıdır. Yani paydaları eşit olmalıdır. Farklı sayılarda bölünmüşseler, paydalar eşitlenir. Paydalar, en küçük ortak kata eşitlenir.

Toplama işleminde paylar toplanır ve toplam, toplam kesrinin payı olur.

Kesirleri Ondalık Kesir Biçiminde yazma:
Kesrin payının, paydasına bölümüle elde edilen değer, kesrin ondalık kesir cinsinden karşılığını verir.

basit kesrinin ondalık kesir şeklindeki yazımı 0,25′dir. Bu değeri bulmak için 1, 4′e bölünmüştür.

bileşik kesrinin ondalık kesir şeklindeki yazımı 2, değeridir (2,33333…).

Kesirlerin Karşılaştırılması:
Kesir sayıları arasında sıralama yapılabilir.

Kesirlerin paydaları eşitse; paylarına göre sıralama yapılır.

Verilen kesirlerin paydaları eşitse payı büyük olan kesir daha büyüktür.

Kesirlerin payları eşitse; paydalarına göre sıralama yapılır. Verilen kesirlerin payları eşitse paydası büyük olan daha küçüktür.

Payları ve paydaları eşit değilse; pay ya da paydalar eşitlendikten sonra sıralama yapılır.

alıntı

[Medineweb]

Rasyonel sayılarla işlemler – Rasyonel Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemleri


Tam sayılarda toplama ve çıkarma işlemini bilen bir öğrenci için rasyonel sayılarda toplama ve çıkarma işlemi çok basit bir konu olacaktır.
iki rasyonel sayı verildiğinde geçen sene öğrendiğimiz kesirlerde toplama ve çıakrma işleminin kurallarını uygulayacağız.
Örneğin;

4-2=2

5+3=8

derken birden karşımıza negatif tam sayıların da olduğu işlemler çıktı ve

-4-2=-6

-5+3=-2 gibi sonuçları gördük.

Kesirlerde de paydaları eşitledik, payları topladık veya çıkardık, paydalar ise sabit kaldı.
Şimdi bunların ikisini birarada kullanacağız.

yukarıda iki rasyonel sayı ile ilgili işlemler verilmiş.
aradaki işlem toplama işlemi ve paydaların aynı olması gerektiği için eşitledik paydayı.
Payda eşitlendikten sonra payda ile işimiz bitti ve paya bakıyoruz.
Artık tam sayılarda toplama ve çıkarma işleminin özelliğini kullanabiliri.
-3+2 nin sonucunun -1 e eşit olduğunu biliyoruz ve pay kısmına -1 yazıyoruz.
Sonuç -1/6 olarak bulundu.
Aradaki işlem toplama da olsa, çıkarma da olsa aynı mantığı kullanıyoruz.
Soru: Rasyonel sayılar tam sayılı kesir şeklindeyse veya ondalık sayı şeklineyse nasıl sonuca gideriz?
Cevap: Tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevirirsek hiçbir zaman hata yapmayız.
Aynı şekilde, sayılardan biri ondalık sayı, diğeri rasyonel sayı ise; ya ikisini de rasyonel sayıya çevirin, ya da ikisini de ondalık sayıya çevirin.
Not: Rasyonel sayılarda toplama işleminde değişme ve birleşme özelliği vardır.
Çünkü sayıların yeri değişse de sonuç değişmez buna değişme özelliği denir.
Sayıları değişik sırayla toplasak da sonuç değişmez bu da birleşme özelliğine örnektir.


alıntı

[Medineweb]

Rasyonel Sayılarda Sıralama


Pozitif kesirlerde sıralama yapılırken aşağıdaki yollardan biri kullanılır.
I. Yol:
Paydaları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür.
II. Yol:
Payları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden paydası en küçük olan diğerlerinden daha büyüktür.
III. Yol:
Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, basit kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür.


Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, bileşik kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha küçüktür.
Yukarıda verilen yöntemler pozitif kesirlerde geçerlidir. Negatif kesirlerde ise durum tersinedir.
F. İKİ RASYONEL SAYI ARASINDAKİ SAYILAR


arasında sayılamayacak çoklukta rasyonel sayı vardır. Bunlardan bazılarını bulmak için b ile d nin OKEK i bulunur. Verilen kesirlerin paydaları bulunan OKEK inde eşitlenir. İstenen koşuldaki sayıyı bulmak için kesirler genişletilebilir.
Üx, kesirlerinin ortasındaki bir sayı ise,

[Medineweb]

[CENTER]ONDALIK SAYILARLA ARİTMETİKSEL İŞLEMLER
Ondalık Kesirler (Sayılar):

m Є Z ve n Є Z+ olmak üzere, m / 10n şeklinde yazılabilen kesirlere Ondalık Kesir, sayılara da Ondalık Sayılar denir. Yani, paydası 10' un kuvveti olan kesirler (sayılar) dir.
Örnekler:
1/10 = 0,1 sıfır tam onda bir
2/10 = 0,2 sıfır tam onda iki
3/10 = 0,3 sıfır tam onda üç
25/100 = 0,25 sıfır tam yüzde üç
2/1000 = 0,002 sıfır tam binde iki
25/10 = 2,5 iki tam onda beş
15/10 = 1,5 bir tam onda beş
103/100 = 1,03 bir tam yüzde üç
2345/1000 = 2,345 iki tam binde üçyüzkırkbeş
Bir ondalık kesir, ondalık sayı şeklinde yazıldığında, virgülden önceki kısma ondalık sayının tam kısmı, virgülden sonraki kısma da ondalık sayının ondalık kısmı denir.
Bir a/b (b≠0) kesrinin, payının paydasına bölünmesiyle elde edilen bölüme de, Ondalık sayı denir. Ayrıca, buna rasyonel (kesrin) sayının ondalık açılımı da denir. Bu işlem, bir kesrin (rasyonel sayının), ondalık kesre (sayıya) çevrilmesinde kullanılır.
Örnek:
1/5 sayısını ondalık sayıya çeviriniz.
Çözüm:
1/5 in paydasını 10' un kuvveti şekline çevirmek için hem payını hem de paydasını 2 ile genişletelim. Bu takdirde,
1/5 = (1.2)/(5.2) = 2/10 = 0,2
buluruz.
Örnek:
12/300 rasyonel sayısını ondalık sayıya çeviriniz.
Çözüm:
12/300 ün paydasını 10' un kuvveti şekline çevirmek için hem payını hem de paydasını 3' e bölelim. Bu takdirde,
12/300 = (12:3)/(300:3) = 4/100 = 0,04
buluruz.
Örnek: 3/5 = (3.2)/(5.2) = 6/10 = 0,6
Örnek: 7/25 = (7.4)/(25.4) = 28/100 = 0,28
Örnek: 2/125 = (2.8)/(125.8) = 16/1000 = 0,016
Örnek:
1/3 sayısının ondalık açılımını bulunuz.
Çözüm:
1/3 rasyonel sayısını kaç ile genişletirsek genişletelim paydasını 10' un kuvveti şeklinde yazamayız. Bu nedenle, bu sayının payını paydasına bölmeliyiz. Dolayısıyla, bu bölme işlemini yaparsak,
1/3 = 0,33333333... = 0,3
elde ederiz. Buradaki ondalık kısımdaki 3 sayısı sonsuza dek devam etmektedir. Yani, 3 sayısı devreden sayıdır. Bundan dolayı, 0,3 sayısına, devirli ondalık sayı denir. Devirli ondalık sayılarda devreden kısım tek basamaklı olabileceği gibi, iki veya daha fazla basamaklı da olabilir. Örneğin,
0,25 devreden kısım iki basamaklı
2,25367 devreden kısım üç basamaklıdır.
Uyarı 1:
Tamsayıların önüne yazılan sıfırların bir anlamı yoktur. Örneğin,
2, 02, 002, 0002, 00002, 000002, ...
sayılarının hepsi 2 sayısını gösterir. Burada 2' den önceki sıfırların bir anlamı yoktur. Bu yüzden kullanılmazlar.
Uyarı 2:
Bir kesrin ondalık açılımında ondalık kısımdaki rakamların en sağına yazılan sıfırların bir anlamı yoktur. Örneğin,
1,2
1,20
1,200
1,2000
sayılarının hepsi 1,2 dir.


ONDALIK SAYILARIN RASYONEL SAYIYA ÇEVRİLMESİ
Devirsiz ondalık sayılar, rasyonel sayı şekline şöyle çevrilir: Paya ondalık sayının tümü yazılır, paydaya da 1 ve 1' in ardına ondalık kısımdaki rakam sayısı kadar 0 yazılır
Devirli ondalık sayılar, rasyonel sayı şekline şöyle çevrilir: Paya ondalık sayının tümünden tam kısım dahil devretmeyen kısmının farkı yazılır, paydaya da ondalık kısmın önce devreden rakam sayısı kadar 9 devretmeyen rakam sayısı kadar 9' un ardına 0 yazılır
36,4539 = 36,454
1,849 = 1,85
Ondalık kısımdaki 9 rakamı devrediyorsa, 9 rakamı atılır ve önündeki rakam 1 arttırılır.


ONDALIK SAYILARLA DÖRT İŞLEM
TOPLAMA ve ÇIKARMA İŞLEMİ:
Virgüller aynı hizaya getirilir ve toplama veya çıkarma işlemi yapılır.
Örnek:
2,15 + 35,242 = ?
2,150 + 35,242 = 37,392 bulunur.


ÇARPMA İŞLEMİ:
Virgüller gözönüne alınmadan normal çarpma işlemi yapılır. Sonra da, iki ondalıklı sayının ondalık kısmındaki hane sayısının toplamı kadar sağından başlanarak virgülle ayrılır.
Örnek:
4,25 . 23,4 = ?
4,25
23,4
x
---------------
1700
1275
850
+
----------------
99,450


BÖLME İŞLEMİ:
Pay ve paydadaki ondalık sayılarda virgül kalmayacak şekilde eşit sayıda basamak kaydırma işlemi yapılır. Sonra da normal bölme işlemi yapılır.
Örnek:
= 650/65
= 10
Örnek:
= 70/58
= 35/29
Örnek:
x=0,2 ve y=0,4 ise,
x=0,2=2/9
y=0,4=4/9


Örnek:
0,36 sayısı m/n rasyonel kesrine eşitse, m-n farkı kaçtır?
Çözüm:
0,36 = (36-3)/9 = 33/9 = 11/3
m/n = 11/3 olduğundan, m=11 ve n=3 olur. Dolayısıyla, m-n=11-3=8 bulunur.
Örnek:


işleminin sonucu kaçtır? (ÖSS-2001)
a) 0,1 b) 0,2 c) 10 d) 20 e) 100
Çözüm:
10/1 +10/1-10/1= 10+10-10 = 20-10=10
Doğru seçenek c şıkkıdır.

[Medineweb]

DEVİRLİ ONDALIK AÇILIMLAR

rasyonel sayı ondalık yazıldığında, ondalık kısmındaki sayılar belli bir rakamdan sonra tekrar ediyorsa bu açılıma devirli ondalık açılım denir.
Devreden kısım üzerine (—) işareti konulur.

· Her devirli ondalık açılım bir rasyonel sayı belirtir.
· Her rasyonel sayının bir devirli ondalık açılımı vardır.
· Bazı devirli ondalık açılımlar ondalık kesir değildir.
0,333... gibi. (Çünkü rasyonel sayı olarak yazıldıklarında, ondalık kesir tanımına uymuyor.)

E. DEVİRLİ ONDALIK AÇILIMLARI RASYONEL SAYIYA ÇEVİRME
Bir devirli ondalık açılıma karşılık gelen rasyonel sayıyı bulmak için aşağadaki yol takip edilir.

· Pay için “sayı aynen yazılır, devretmeyen kısım çıkarılır.”
· Payda için “virgülden sonra devreden rakam sayısınca (9) devretmeyen rakam sayısınca (0) yazılır.” İfadeleri kullanılır.

Devreden sadece (9) ise pratik olarak bir önceki rakam 1 artırılır. Devreden sayı iptal edilir.


alıntı

[Medineweb]

Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma

Tanım : Sabit olmayan, birden fazla polinom un çarpımı biçimin de yazılamayan polinomlara indirgenemeyen polinomlar denir.
Baş katsayısı bir olan indirgenemeyen polinomlar Asal polinomlar denir.

* P(x) = x2 + 4 , Q(x) = 3x2 + 1, R(x) = 2x – 3 , T(x) = - x + 7
Polinomları indirgenemeyen polinomlar dır.
P(x) = x2 + 4 baş katsayısı 1 olduğundan asal polinom dur.
Tanım : İçindeki değişkenlerin alabileceği her değer için doğru olan eşitliklere özdeşlik denir.

* a) x3 (x2 – 2x) = x5 – 2x4 b) a2 (x + y)2 = a2 x2 + a2 y2 özdeşlik
c) a2 (x +y)2 = a2 x2 + a2 y2 özdeşlik değildir.
ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER


I) Tam Kare Özdeşliği:

a) İki Terim Toplamının Karesi : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
b)İki Terim farkının Karesi : (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
İki terim toplamının ve farkının karesi alınırken; birincinin karesi,birinci ile ikincinin iki katı, ikincinin karesi alınır.
c)Üç Terim Toplamının Karesi:(a +b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc) şeklindedir.


II) İki Terim Toplamı veya Farkının Küpü :
a)İki Terim Toplamının Küpü : (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
b) İki Terim Farkının Küpü : (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Birinci terimin küpü;( ) birincinin karesi ile ikincinin çarpımının 3 katı, (+) birinci ile ikincinin karesinin çarpımının 3 katı,( ) ikincinin küpü biçimindedir. Bu açılımlara Binom Açılımıda denir
Not:. Paskal Üçgeni kullanılarak 4.,5.,6.,...Dereceden iki terimli lerin özdeşliklerini de yazabiliriz.
III) İki Kare Farkı Özdeşliği: (a + b) (a – b) = a2 – b2
İki terim toplamı ile farkının çarpımı; birincinin karesi ile ikincinin karesinin farkına eşittir
IV) xn + yn veya xn - yn biçimindeki polinomların Özdeşliği :
i) İki küp Toplam veya Farkı : a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
ii) a4 + b4 = (a + b) (a3 – a2b + ab2 – b3)
a4 – b4 = (a2 + b2) (a + b) (a – b)
iii) a5 + b5 = (a + b) (a4 – a3b + a2 b2 – ab3 + b4)
a5 – b5 = (a – b) (a4 + a3b + a2 b2 + ab3 + b4)
iv) a6 + b6 = (a + b) (a5 – a4b + a3 b2 – a2b3 + ab4 – b5)
a6 – b6 = (a – b) (a2 + ab + b2) (a+ b) (a2 + ab + b2)
v) a7 + b7 = (a + b) (a6 – a5b + a4b2 – a3b3 + a2b4 – ab5 + b6)
a7 – b7 = (a – b) (a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6)


Özdeşlikleri aşağıdaki şekilleriyle düzenleyerek kullanabiliriz

1)x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy
2)x2 + y2 = (x – y)2 + 2xy
3) (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy
4) (x + y)2 = (x – y)2 + 4xy
5) x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy (x – y)
6) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy (x + y)
7) x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2 (xy + xz + yz)


1) İki sayının toplamı 17, kareleri toplamı 145 ise; bu sayıların çarpımı kaçtır?
x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy 2ab = 289 – 145
145 = (17)2 – 2ab 2ab = 144 ab = 72 C= 72
2) a – b = 6 (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab (a + b)2 = 44
a . b = 2 = ( 6 )2 + 4.2 (a + b) =
a + b = ? = 36 + 8 =
3) a – 2b = 3 ise; a2 + 4b2 = ? a2 + 4b2 = (a – 2b)2 +2. a2b
a . b = 2 = ( 3 )2 + 2. 2 .2 = 17
4) a + b = 12 ise; a . b = ? (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab 4 ab = 108
a – b = 6 ( 12 )2 = ( 6 )2 + 4ab ab = 27
5) ise; x2 + y2 = (x – y)2 + 2xy
20
6) ise;
Ç = {- 4 , 4}
7) m + n =8 x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y)
m . n = 1m3 + n3 = (m + n)3 – 3mn (m + n)
m3 + n3 = ? = ( 8 )3 – 3 . 1 . 8 = 488

alıntı

[Medineweb]

Özdeşlikler

1) (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
2)(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
3)a2+b2 = (a+b)2 - 2ab
4)a2+b2 = (a-b)2 + 2ab
5)(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
6)(a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
7)a3+b3 = (a+b). (a2 - ab + b2)
8)a3-b3 = (a-b). (a2 + ab + b2)
9)(a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab+bc+ac)

alıntı

[Medineweb]

ÇARPANLARA AYIRMA YÖNTEMLERİ

1) Ortak Çarpan Parantezine Alma:
Terimlerin herbirinde ortak olan ifadelerin alınıp ifadeyi çarpan durumuna getirmektir.

örnek: ax + bx + cx = x (a + b +c)

örnek: 3 (a-b) . c - 6 (a-b) . d = 3 (a-b) . (c-2d)

2) Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma:
Terimler çarpanlara ayrılırken grup, grup alınarak çarpanlarına ayrılır.

örnek: ax - by + aj/ - bx = a (x +y) -b (x+y)
= (a - b) . (x + y) (gruplandırmada ortak çarpanma getirildiğine dikkat ediniz.)

örnek: a2 + ab + bc + ac = a (a + b) + c (a + b) =(a + c) . (a + b)

örnek: 2ax - 4ay - x + 2y = 2a (x - 2y) - (x - 2y) = (x-2y) .(2a-1)

3) İki Kare Farkı:
İki terimden oluşmalı, terimler arasındaki işaret (-) ve terimlerin karekökleri olmalıdır.

örnek: 81 x2 - 16 = (9x - 4) . (9x + 4)

örnek: 1 - 25a2 = (1 - 5a) . (1 + 5a)
4)İki Küp Toplam ve Farkı:
örnek: a3 + b3 = (a + b). (a2 - ab + b2)
örnek: 1-27x3 = 13 - (3x)3 = (1-3x). (1 + 3x + 9x2)
örnek: 27a3+8 = (3a)3+(2)3 = (3a+2) . (9a2-6a+4)
örnek: 3-24x3=3(1 -8x3) = 3[13-(2x)3] = 3(1 -2x) . (1 +2x + 4x2)
5)Tamkareli İfadeler:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = (a + b). (a + b)
örnek: x2+ 2 + \ = (x + i)2= (x +1). (x + 1)
6) Ax2 + Bx + c Şeklindeki Üç Terimli İfadeler:
Birinci ve üçüncü terimlerin çarpanları alt alta yazılarak çapraz çarpıldığından sonra toplanır. Toplamın sonucu orta terimi veriyorsa karşılıklı olarak terimler alınıp çarpım durumunda yazılır.


örnek: x2 - x - 2 = (x - 2) . (x + 1)

alıntı