DGS Matematik Dersi Konu Özetleri-MEDİNEWEB

[Medineweb]

[CENTER]Eşitsizlikler ve Mutlak Değer

x, y, z e R olmak üzere,

a) Eşitsizliklerin her iki tarafı aynı sayı ile toplanıp çıkarılabilir.
y Eşitsizliğin her iki tarafı aynı pozitif sayı ile çarpılıp veya bölünebilir.
d) Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılıp bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir.
d) Yönleri aynı olan eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir.
e) Eşitsizliğin çözüm kümesi yazılırken, eşitlik varsa sayının kendisi dahil edilecek, eşitlik yoksa sayı dahil edilmeyecek.


MUTLAK DEĞER ÖZELLİKLLERİ VE İŞLEVLERİ

Tanım:Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile gösterilir.
x , R nin elemanıdır ve
x ={x, x > 0 ise
{-x,x < 0 ise
şeklinde tanımlanır.
f(x) ={f(x),f(x) > 0 ise
{-f(x),f(x)< 0 ise
1) Örnek: x =-3 için x-5 - x+2 ifadesinin eşiti kaçtır?

Çözüm: -3-5 - -3+2 = 8-1=7
2) Örnek: a 0,x elemanıdır R ve x < a ise -a a ise x > a veya x < -a dır.

10) IaI-IbI < Ia+bI
11)I-aI=IaI, Ia-bI=Ib-aI
12)IaI . IaI = a . a
13)I f(x) I = a ise f(x )= a veya f(x) = -a
14)I f(x) I < a ise -a< f(x) < a
15)I f(x) I > a ise f(x) > a U -f(x) > a

İSPATLAR
Öz.1)a = 0 ise IaI = I0I = 0
a > 0 ise IaI = a >0
a < 0 ise IaI = -a >0 dır.
O halde IaI > 0 dır.
Öz.2)a ve -a sayılarının 0 dan uzaklıkları eşit olduğundan IaI=I-aI dır.
Öz.6)V a elemanıdır R için -IaI < a < IaI
V b elemanıdır R için -IbI < b< IbI
+
-IaI-IbI< a+b 0 olduğundan -IaI < 0 dır.
-IaI= a 0 ise IaI = a ve -IaI < 0 dır.
-IaI< 0 < IaI = a ise -IaI < a < IaI dır.

MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER
Soru: I3x-7I = 5 denklemini çözünüz.
Çözüm:I3x-7I = 5 ise; 3x-7 = 5 veya 3x-7 = -5 olur.
1-3x-7 = 5 2- 3x-7=-5
3x = 12 3x = 2
x = 4 x = 2/3
Ç={4,2/3}
Soru:Ix-7I = 7-x eşitliğini sağlayan kaç tane doğal sayı vardır?
Çözüm: Ix-7I = 7-x ise
[FONT=Tahoma][SIZE=4]x-7 [U]

[Medineweb]

Mutlak Değer

TANIM

Sayı doğrusu üzerinde x reel (gerçel) sayısının orijine olan uzaklığına x in mutlak değeri denir.

|x| biçiminde gösterilir.

]

Bütün x gerçel (reel) sayıları için, |x| ³ 0 dır.




B. MUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİ

1) |x| = |– x| ve |a – b| = |b – a| dır.
2) |x . y| = |x| . |y|
3) |xn| = |x|n
4) y ¹ 0 olmak üzere,

5) |x| – |y| £ |x + y| £ |x| + |y|
6) a ³ 0 ve x Î IR olmak üzere,
|x| = a ise, x = a veya x = – a dır.
7) |x| = |y| ise, x = y veya x = – y dir.
8) x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,

|x – a| + |x – b|

ifadesinin en küçük değeri a £ x £ b koşuluna uygun bir x değeri için bulunan sonuçtur.

9) x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,

|x – a| – |x – b|

ifadesinin en küçük değeri x = a için, en büyük değeri ise x = b için bulunur.

10) a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,

1. |x| < a ise, – a < x < a dır.
2. |x| £ a ise, – a £ x £ a dır.

11) a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,

1. |x| > a ise, x < – a veya x > a dır.
2. |x| ³ a ise, x £ – a veya x ³ a dır.

alıntı[/CENTER]

[Medineweb]

Üslü Sayılar


Üslü sayı, bir doğal sayının kendisi ile çarpımlarının kısa şekilde gösterilmesidir.

3.3=3² üs kuvvettaban n

Örnekler:

4.4.4=4³7.7.7.7=7410.10.10.10.10.10=106

Kurallar:
1)Bir sayıya üs yazılmamışsa üs 1’dir

3=3x 0=0¹ 45

2)Üssü 0 olan sayma sayıları 1’e eşittir.

4°=1 54°=1
1°=1 0°≠1

3)Üssü 1 olan sayılar tabana eşittir.

5¹=5 81¹=81
2¹=2 28¹=28

4)1 sayısının bütün kuvvetleri 1’dir.

1°=1 13635=1
1234731=1 1333=1

5)Üslü doğal sayılarda üs ile taban yer değiştirilirse sayının değeri de değişir.

(42 ve 24 hariç)

6)İki sayı birbirine eşit ve tabanları aynı ise bu iki sayının üsleri de eşittir. 3a=3b a=b


Üslü Sayılarla İşlem Yaparken

Pozitif tam sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir.
Sıfır dışındaki tüm sayıların sıfırıncı kuvveti (+1) dir.
Sıfırın,sıfır dışındaki bütün kuvvetleri sıfırdır.
Negatif tam sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.
Negatif sayıların üstleri alınırken, üs parantez üstünde ise hem sayıyı hem işareti etkiler, işareti sayıyı etkilemez.

alıntı

[Medineweb]

[CENTER]KAREKÖKLÜ SAYILAR

Rasyonel sayılar kümesi sayı ekseninde sık olmasına rağmen sayı eksenini tam dolduramamaktadır;çünkü sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar da vardır.
Karesi 2 olan c doğal sayısını ele alalım.

a2 = 2 ise a sayısını a = şeklinde gösterebilir ve ‘karekök iki ‘diye okuyabiliriz.Acaba bu
sayısı hangi sayılar arasındadır?Bunu inceleyelim:
12 =1 1=1
(1,5)2 = 1,5 1,5=2.25 tir
O halde sayısı;1< 0)
Örnek:

( )4 = 4 = = 5.5 = 25


NOT: ( + ). ( - ) = ( )2 – ( )2 = a – b
Örnek:

( + ). ( - ) = ( )2 – ( )2 = 7-3 = 4




3)Bölme
Karekök içinde verilen sayılar bölünüp kök içine yazılır.Sadeleştirmeler yapılıp,mümkünse kök dışına çıkarılır.
a,b R+ ve b 0 ise / = ve / = dır.
Örnekler:

- / =
- : = = = /2
- / = =

PAYDAYI RASYONEL YAPMA

Bölüm şeklindeki kareköklü bir ifadede, paydayı karekökten kurtarmaya, paydayı rasyonel yapmak denir.Paydayı kökten kurtarmak için ;pay ve paydayı ,paydanın eşleniği ile çarparız.

nın eşleniği ve . =a dır.
( + ) nin eşleniği ( - ) ve ( + ). ( - ) = a – b dir.
( - ) nin eşleniği ( + ) dir.
( - b) nin eşleniği ( + b) dir.
- nin eşleniği 2 + + 2 dir.
+ nin eşleniği 2 - + 2 dir.
nin eşleniği dir.
m nin eşleniği n-m

1)Paydada varsa:
Pay ve paydayı ile çarparız.

Örnekler:

- 1/ = 1. / . = /2
- 5/ = 5. / . = /10 = / 2

2)Paydada + varsa :
Pay ve paydayı - ile çarparız.

Örnek:

5 5. (2 - )
=
( ). (2 - )

= 5. (2 - )
22 – ( )2

= 10 -

4 - 3

=10 - = 5(2 - )

BAZI KURALLAR:

1) n = an/m

2) = x , xm =a

3) . =

4) : =

5) - + = (a – b + c)

6) a > 0, b > 0, c > 0 m,n,k pozitif tam sayıdır.
2 . b = an

7) =

8) = 2. bk.c

9) =

10) =

11)( )n = a

12) ( )m = m

13) a R+ ise = n. b

14) p = =

15) =x ise x= 1+
2

16) =a+1

17) k =

[Medineweb]

1. Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

Tanım : a * 0 ve a, b e R olmak üzere ax+b=0 denklemine, bilinmeyeni x olan "I. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem" denir.
ax + b = O denkleminin çözümü için x yalnız bırakılmalıdır.

Örnek: 7x + 28 = O denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm: 7x + 28 =0
7x =-28 x =-4 Ç -{-4}

Örnek: -2 . (3x + 1) + 4 . (2 - x) = 1 + 3 . (x + 1) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm: -2 . (3x + 1) + 4 . (2 - x) = 1 + 3 . (x + 1)
-6x-2 + 8-4x = 1 +3x + 3
- 10x + 6 = 3x + 4
-13x = -2
x = 13

alıntı

[Medineweb]

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler


İçinde bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenin aldığı bazı değerler için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Denklemleri adlandırırken içindeki bilinmeyen sayısına ve bilinmeyenin derecesi 1 olan denklemlere ise birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.


Bu denklemlerin çözümü yapılırken;


Bilinmeyenler eşitliğin bir tarafında,bilinenler diğer tarafta toplanır.
Bir taraftan diğer tarafa ifade tersiyle aktarılır.örnek
x+2+4=10 10-4=6 6-2=4 x=4 yani Ç[4]olur.


Matematik ile ilgili bu madde bir taslaktır. İçeriğini geliştirerek Vikipedi'ye katkıda bulunabilirsiniz.


Pratik Çözüm


Bir denklemi pratik çözmek için ;


Bilinmeyenler eşitliğin bir yanında, bilinenler eşitliğin diğer yanında toplanır. Eşitliğin bir yanından diğer yanına geçen terimin işareti değişir.


Her iki yanda toplama çıkarma işlemleri yapılır ve her iki yan bilinmeyenin katsayısına bölünerek bilinmeyen yalnız bırakılır. Denklem çözülmüş olur.


ÖRNEKLER


1. x + 6 = 10 denkleminin çözüm kümesini bulalım:


Çözüm: x + 6 = 10 denkleminde (+6) nın toplama işlemine göre ters elemanı olan (-6), eşitliğin her iki yanına eklenirse eşitlik bozulmaz.


Buna göre; x + 6 = 10 x + 6 + (-6) = 10 + (-6) x + 0 = 4 x = 4 olur. Ç = {4} olur.


Verilen bir denklemin çözümünün doğru yapılıp yapılmadığının araştırılmasına, denklemin sağlaması denir.


Bulunan kök, denklemde yerine yazılarak denklemin sağlaması yapılır böylece bulunan kökün doğruluğu kontrol edilir.


4 sayısının x + 6 = 10 denklemini sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim:


x = 4 için x + 6 = 10 4 + 6 =10 10 = 10 olduğundan çözüm doğrudur. x + 6 = 10 x = 10 – 6 x = 4 ve Ç = {4} tür.


Demek ki; her iki şekilde yapılan çözüm, aynı elemanı veren çözüm kümesidir.


2. Verilen denklem parantezli olursa; aşağıda yapıldığı gibi, önce dağılma özeliği uygulanarak parantezler kaldırılır. Sonra da içerisinde bilinmeyeni olan terimler eşitliğin bir tarafına, öteki terimler de diğer tarafına geçirilir. Gerekli işlemler yapılarak denklem çözülür.



2.(x + 3) + 7 = 25 – 2.( x - 2 )


Önce, çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özeliklerini uygulayalım


Çözüm:


2.(x + 3) + 7 = 25 – 2.( x - 2 ) 2x + 6 + 7 = 25 – 2x + 4 2x + 13 = -2x + 29 2x + 2x = 29 – 13 4x = 16 x = 16 : 4 x = 4 ve Ç = { 4 } olur.


3. Verilen denklem kesirli olursa, çözümü için önce paydalar eşitlenir. Denklem paydadan kurtarılır. Bunun için, eşitliğin iki yanını ortak payda ile çarpmak gerekir. Sonra da örnek çözümlerde belirtilen kurallara göre denklem çözülür.


3.(x–2) _ 2–x _ _ x _ 5 denkleminin çözüm 4 2 ¯ 5 2 kümesini bulalım:


Çözüm: Paydaları eşitlersek:


3.( x- 2) – 2.( 2 – x ) – 4x _ x - 10 4 ¯ 4


3x – 6 – 4 + 2x – 4x =x – 10 3x + 2x – 4x – x = -10 + 6 + 4 5x - 5x = -10 + 10 0.x = 0


alıntı

[Medineweb]

İkinci Dereceden Denklemler

İKİNCİ DERECE DENKLEMİ Babilliler, Mısırlılar ve Çinlilerde x + y = a ve x - y = b denklem çiftinde, yanlışı ılı memeyle x = (a + b)/2 ve y = (a-b)/2 olduğunu biliyorlardı.
Çinliler ayrıca matris bloklarını ve bambu çubukları kullanarak bu denklem sistemini çözebiliyorlardı. Daha sonraki gelen halklarda bu geometrik şekilleri kullanarak bu denklem sistemine sayısal çözümler bulmuşlardır. Eski halklarda sistemli bir ispat yöntemi bulunmadığından hu tür işlemler daha çok deneme biçiminde yürütülüyordu.
Çinlilerde de sistemli bir ispat yöntemi yoktu. Bunları söylerken, eski Babil, Mısır ve Çin anlatılıyor. Çinlilerin ikinci derece denklemine dönüşen problemleri Dokuz Bölüm isimli kitapta iki tane denklemle verilir. Bu denklemler arasında bilinmeyenin birisi yok edilerek sonuçta ikinci derece denklemi bulunur. Sonra denklem kendi yöntemleriyle çözülür.
Çinlilerin Dokuz Bölüm isimli kitabındaki 11. problem şöyledir. Bir kapının boyu eninden 6.8 birim daha fazladır. Kapının köşegeninin uzunluğu da 10 birimdir. Kapının enini ve boyunu hesaplayınız. Problemin ifadesine göre boyutlar x ve y ise x-y = 6.8 ve x2 + y2=100 denklem çifti yazılır. Çinliler bu problemi daha çok Pisagor yöntemiyle çözerler.
Eğer bu problemi biz x - y = d ve x2 + y2 = c2 biçiminde yazarsak, (x + y)2 = 4xy + (x - y)2 ve c2 = 2xy+(x - y)2 yada 4xy = 2c2 - 2(x - y)2 yazılır. Buradan (x + y)2 = 2c2-(x - y)2 ya da x+y= yazılır.
Eşitliğin her iki yanı 2 sayısıyla bölünürse, olur.
Buradan x +y = 12.4 gelir. x-y = 6.8 olarak verilmişti.
Buradan x = 9.6 ve y = 2.8 olarak bulunur. Çinlilerin Dokuz Bölüm isimli kitaplardaki problemler daha çok doğrusal ve ikinci derece olan denklem sistemleri biçimlerine dönüşür. Bu tür örnekler Çinlilerde fazladır. Oysa Eski Babillilerdeki tabletler x + y = b ve xy = c biçimlere dönüşen problemlerle doludur. Babillilerin problemleri daha çok alan ve çevre türünde düzenlenmiştir.
Alanı c ve çevresi 2b olan çok sayıda Babil tableti bulunmuştur. Bu tabletler x = b/2 + z ve y = b/2 - z boyutlu dikdörtgen ve c alanı t. . (b/2 + z) (b/2 - z) = (b/2)2 - z2 biçiminde alınarak hesaplar yapılmıştır.
Bu hesaplamalara göre olur. Buradan ve y = değerleri istenilen denklem sisteminin çözümüdür. Burada yazdığımız modern gösterimler, Babillilerin tabletlerinde yapılan çözümlerin yorumlanması ve açıklanması türendedir. Babilliler aslında formül vermemişlerdir. Her problemi çözerken çözümde kullandıkları yöntemler bunlardır. Babilli yazıcılar bu işlemi geometrik olarak nasıl yapmışlar ve nasıl tabletlere geçirmişlerdir? Şimdi onu gösterelim.
Yine x + y = b ve xy = c olarak verilsin. Burada x değerine uzun kenar ve y değerine de kısa kenar diyorlar. Daha kısa deyimle x uzunluk ve y de genişlik olarak alınıyor. Buna göre problemin ifadesinden genel olarak x + y = b ve xy = c gösterimleri geliyor. Modern dille bu iki denklem sisteminden uzunluk denen x ve genişlik denen y değeri hesaplanacak.
Bu hesaplamaları geometrik olarak şu şekle dayandırıyorlar. Yani komutlarından böyle yaptıkları anlaşılıyor. Önce b sayısını ikiye bölüyor ve b/2 kenarlı kareyi çiziyor. Burada b/2 = x - (x - y)/2 = y + (x - y)/2 biçiminde ve b/2 = (x + y)/2 olduğundan, b/2 kenarlı karenin üa-nı xy = c alanından (x - y)/2 kenarlı karenin alanı kadar daha fazladır. Yani, x+y=b ve xy=c olan denklem sisteminin çözümünün geometrik yorumu olur. Yukarıdaki şekle göre b/2 sayısına sayısını bir kez ekler ve bir kez de çıkarırsak sırasıyla

SORU-1 :
SORULAR
1)2x 2 - 8x + 6 = 0 denklemini çözünüz.


CEVAP-1 :
∆ = 8 2 - 4 . 2 . 6 = 16 ve 16 >0 olup farklı iki çözüm vardır. x 1 = ( - (-8) + √ 16 ) / 2 . 2 = ( 8 + 4 ) / 4 = 3 ve x 2 = ( - (-8) - √ 16 ) / 2 . 2 = ( 8 - 4 ) / 4 = 1 olur. Ç = { 1 , 3 }


SORU-2 :
2) x 2 + 4x -2 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. Kökleri x 1 + 3 ve x 2 + 3 olan denklemi bulunuz.

CEVAP-2 :
Denklemin kökler toplamı -4 / 1 = -4 ve kökler çarpımı (-2) / 1 = -2 dir. Kurmak istediğimiz denklemin kökler toplamı T = x 1 + 3 + x 2 + 3 = -4 + 6 = 2 dir. Kökler çarpımı ise Ç = ( x 1 + 3 ) . ( x 2 + 3 ) = x 1 . x 2 + 3 . ( x 1 + x 2 ) + 9 = -2 + 3 . (-4) + 9 = -5 olur. Denklem x 2 - Tx + Ç = 0 şeklindedir. x 2 - 2x - 5 = 0 aradığımız denklemdir.


SORU-3 :
3) x 2 + xy =12 denklem sistemini çözünüz.
xy + y 2 = 4


CEVAP-3 :
Birinci ve ikinci denklem taraf tarafa toplanırsa x 2 + 2xy + y 2 = 16 ve taraf tarafa çıkarılırsa x 2 - y 2 = 8 denklemleri elde edilir. ( x + y ) 2 = 16 ise x + y = 4 veya x + y = - 4 olacaktır.
x 2 - y 2 = 8 ifadesi x + y = 4 ve x + y = - 4 ifadeleriyle taraf tarafa ayrı ayrı bölünürse x - y = 2 ve x - y = -2 elde edilir.
x + y = 4 ve x + y = - 4 denklem sistemleri ayrı ayrı çözülürse x = 3 , y = 1 ve
x - y = 2 x - y = -2 x = -3 , y = -1 olur.
Ç = { (3 , 1) , (-3 , -1) }

alıntı

[Medineweb]

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri

a, b, c, a,, bv c, e R olmak üzere ax + by + c = 0 a^ + + e, = 0
biçimindeki iki denkleme birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir. Çözüm kümesi bulunurken yok etme, yerine koyma gibi yöntemler kullanılır.

a. Yok Etme Metodu
Bu yöntemde denklem sisteminde bulunan bilinmeyenlerden birinin katsayılarını zıt olarak eşitler, denklemleri taraf tarafa toplarız. Böylece bilinmeyenlerden biri yok edilir. Elde edilen bir bilinmeyenli denklem çözülür ve bilinmeyenlerden biri bulunur. Bulunan değer, denklemlerden birinde yazılır ve diğer bilinmeyen bulunur.

Örnek: 4x - 5y = 31 denklem sisteminin çözüm 2x + y = 5 kümesini yok etme metoduyla bulalım.

Çözüm: 4x - 5y = 3
-2. / 2x + y = 5

(İkinci denklem -2 ile çarpılır.)
Yerine Koyma Metodu
Denklemlerden birinde bilinmeyenlerden biri, diğeri cinsinden bulunur ve diğer denklemde yerine yazılarak elde edilen denklem çözülür. Bulunan değer denklemlerden herhangi birinde yerine yazılarak diğer bilinmeyen bulunur.

Örnek: 4x - 5y = 3 j denklem sisteminin çözüm 2x + y = 5 ' kümesini yerine koyma metodu ile bulunuz.

Çözüm:2x + y = 5 => y = 5-2x
4x - 5y = 3 => 4x - 5 . (5 - 2x ) = 3 4x-25+ 10x = 3 14x = 28 x = 2
y = 5 - 2x denkleminde x = 2 yazılırsa y = 5 - 2 . 2 = 1 bulunur.
Ç = {(2, 1)}

alıntı

[Medineweb]

SAYI PROBLEMLERİ

A. PROBLEM ÇÖZME YÖNTEMİ
Denklem kurma ile ilgili soruları çözerken aşağıda anlatılan yöntemin kullanılması sorularda kolaylık sağlayacaktır.

1. adım :
2. adım :
3. adım :
4. adım :

5. adım : Soruda verilenler belirlenir.
Soruda istenen tesbit edilir.
Soruda verilenler matematik diline çevrilir.

3. adımda elde edilen denklemler, denklem çözme metotlarından yararlanılarak çözülür.
Bulunan sonucun, soruda istenen olup olmadığı kontrol edilir.

B. MATEMATİK DİLİNE ÇEVİRME
Sorularda verilen ifadelerin matematik diline çevrilmesini örneklerle açıklayalım.

Herhangi bir sayı x olsun :
ä Bir sayının 7 fazlası, x + 7 dir.
ä Bir sayının 5 eksiğinin yarısı,
ä Bir sayının yarısının 3 eksiği,
ä Bir sayının 2 katının 5 fazlası, 2x + 5 tir.
ä Bir sayının 3 fazlasının 4 katı, 4 . (x + 3) tür.
ä Bir sayının 8 eksiğinin 3 katının 7 fazlası, 3 . (x – 8) + 7 dir.
ä Payı paydasının 2 katının 4 eksiğine eşit olan kesir,
ä Bir sayının sinin ünün
ä Bir sayının ünün toplamı,

Denklem Kurma Problemlerinin (Sayı, Kesir, Yaş, İşçi-Havuz, Hareket, Yüzde, Faiz ve Karışım) daha iyi anlaşılabilmesi için bu konuların başlarına konuyla ilgili örnekler konmuştur. Bu örnekleri incelemeniz konuyu anlamanızı kolaylaştıracaktır.


Örnek 1
Biri diğerinin 3 katından 4 fazla olan iki doğal sayının farkı 80 dir. Buna göre, bu iki sayının toplamları kaçtır?

A) 132 B) 156 C) 160 D) 182

Çözüm
Küçük sayı  x
Büyük sayı  3x + 4
Farkları  3x + 4 – x = 2x + 4 olur.
2x + 4 =
2x =
x =
x = 80
76
76 : 2
38 (küçük sayı)
Büyük sayı  3x + 4 = 3 . 38 + 4 = 118
Toplamları  118 + 38 = 156 olur.
Cevap B


Örnek 2
Ardışık dört çift sayının toplamı 372 dir. Bu sayıların en büyüğü kaçtır?

A) 36 B) 56 C) 68 D) 96

Çözüm
l. sayı x
ll. sayı x + 2
lll. sayı x + 4
lV. sayı x + 6
+
Toplam =
4x =
x = 4x + 12 = 372
372 – 12 = 360
360 : 4 = 90
lV. sayı  x + 6 = 90 + 6 = 96 olur.
Cevap D

Örnek 3
Bir yemek kuyruğunda Ali sıranın tam başında, Orhan ise tam ortasındadır. Ali ile Orhan arasında 12 kişi olduğuna göre, bu yemek sırasında kaç kişi vardır?

A) 27 B) 28 C) 29 D) 30

Çözüm

Ali ile Orhan arasında 12 kişi varsa Orhan’ın önünde 12 + 1 = 13 kişi ve arkasında 13 kişi vardır. Orhan sıranın tam ortasında olduğuna göre 13 önünde, 13 arkasında, 1 de kendisi
Toplam  13 + 13 + 1 = 27 kişi vardır.
Cevap A

Örnek 4
120 tane cevizi Bürge 2 pay, Berkin 3 pay alacak şekilde paylaşıyorlar.
Buna göre, Bürge kaç ceviz almıştır?

A) 28 B) 30 C) 48 D) 50

Çözüm
l. yol :
Bürge  2 pay
Berkin  3 pay
Toplam  5 pay = 120
120 : 5 = 24 (1 pay)
Bürge  2 pay  24 x 2 = 48 tane almıştır.

ll. yol :
Bürge  2x Berkin  3x
2x + 3x =
5x = 120
120 ise,
x = 120 : 5 = 24 olur.
Bürge  2x = 2 . 24 = 48 tane almıştır.
Cevap C

Örnek 5
Bir öğrenci tanesi 5000 ve 6000 liralık silgilerden 10 tane alarak 56 000 lira ödüyor.
Bu öğrenci silgilerin kaç tanesini 5000 liradan almıştır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7

Çözüm
5000 liralık

x tane 6000 liralık

(10 – x) tane

5000x + 6000.(10 – x) =
5000x + 60 000 – 6000x =
60 000 – 56 000 =
4 000 =
x = 56 000 lira
56 000
1000x
1000x
4 olur.
Cevap A


Örnek 6
10 kişilik bir arkadaş grubu eşit katılımla top almaya karar veriyorlar. Fakat içlerinden 3 kişi vazgeçince diğerleri 30 000 er lira fazla ödüyor.
Buna göre, topun fiyatı kaç liradır?

A) 500 000 B) 560 000 C) 700 000 D) 840 000

Çözüm
l. yol :
10 – 3 = 7 kişi (geriye kalanlar)
7 x 30 000 = 210 000 lira (3 kişi yerine)
210 000 : 3 = 70 000 lira (1 kişinin ödemesi gereken)
10 x 70 000 = 700 000 lira olur. (topun fiyatı)

ll. yol :
Bir kişinin ödediği miktar  x
Topun fiyatı  T olsun;
10 . x = T
7 . (x + 30 000) = T
10x = T
7x + 210 000 = T

10x =
10x – 7x =
3x =

7x + 210 000
210 000
210 000 ise, x = 70 000 liradır.
T = 10x olduğundan
T = 10 . 70 000 = 700 000 lira olur.
Cevap C

alıntı

[Medineweb]

YAŞ PROBLEMLERİ


i) Bugünkü yaş x ise;
m yıl sonra : x + m
n yıl önce : x - n olur.

ii) m yıl önceki yaş x ise,
bugün : x + m
n yıl sonra : x + m + n olur.

Örnek: Bir annenin yaşı 56, üç çocuğunun yaşları toplamı 8'dir. Kaç yıl sonra, annenin yaşı üç çocuğunun yaşları toplamının 3 katı olur?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

Çözüm:
Bugün Anne 56 x yıl sonra: 56 + x
Uç çocuk 8 8 + 3x

Denklem: 56 + x = 3. (8 + 3x)
56 + x = 24 + 9x 8x = 32 x = 4 bulunur.
Doğru cevap (C) şıkkıdır.

alıntı